《史记·律书》原文：
生黄钟术曰：以下生者，倍其实，三其法；以上生者，四其实，三其法。上九，商八，羽七，角六，宫五，徴九。置一而九三之以为法。实如法，得长一寸。凡得九寸，命曰“黄钟之宫”。故曰音始于宫，穷于角；数始于一，终于十，成于三；气始于冬至，周而复生。
以上文字句读，具照录今中华书局新点校本。乍看起来，这段内容似乎并没有太大问题，其中虽有个别问题，如“上九，商八，羽七，角六，宫五，徴九”这段话，显得有些莫名其妙，从唐人司马贞开始，就觉得“此文似数错”，可真正的行家自有合理的解读。普通文史学者读到这里，最好先参考一下前人的认识，再考虑司马迁在这里表述的到底是什么意思以及这段文字是否存在讹误。
南宋建阳黄善夫书坊合刻三家注本《史记》
然而若是切实理解了文义，就会发现其中是有重要缺文的。虽然前人早已指出这处缺文，可主持中华书局新点校本的学者却因不懂相关知识而没有采用。尽管我本人在这一问题上并没有什么超越前人的新见解，但要想把其间的道理叙说清楚，让绝大多数普通文史学者和各界感兴趣的人们能够充分理解这处脱文，还需要多花费一些笔墨，陈述一下相关的背景知识。
就我个人看到的问题而言，只是司马贞《史记索隐》针对“置一而九三之以为法”这句话所做的如下这段疏说：
《汉书·律历志》曰：“太极元气，函三为一，行之于十二辰。始动于子，参之于丑，得三；又参之于寅，得九。”是谓“因而九三之”也。韦昭曰：“置一而九，以三乘之是也。”乐产云：“一气生于子，至丑而三，是一三也。又自丑至寅为九，皆以三乘之，是‘九三之’也。又参之卯，得二十七；参之于辰，得八十一；又参之于巳，得二百四十三；又参之午，得七百二十九；又参于未，得二千六百八十七；又参之于申，得六千五百六十三；又参于酉，得万九千六百八十三；又参于戌，得五万九千四十九；又参至于亥，得十七万七千一百四十七：谓之该数。此阴阳合德，气钟于子，化生万物也。然丑三分，寅九分者，即分之余数也。”
这段文字，有两处讹误，不过都很浅显。私意揣测校勘者不懂古代音律知识，再加上这段内容的来源有些特别，让他们感觉无从下手，于是只好瞪眼放过。
尽管敝人在动笔时的主观意愿如此，但在辨析过程中或许还会牵涉到《史记·律书》文本的其他问题，那也只好跟着思路走，走到哪里，就随手勘正那里所存在的问题。
【今案】
首先，如上所云，这段文字有句重要缺文，其具体的缺文之处是在这里：
置一而九三之以为法。实如法。
判断其间存在缺文的依据，是这段话中缺少必备的成分，读不懂，也讲不通。
这里“实如法”的“实”字，简单地说，相当于现在所说的“分子”，与此相对应的“法”字，则可以理解为“分母”。读过《周髀算经》的人，是很容易理解这一点的。这样，看看“实/法”的分数表述形式，自然就会清楚，“实如法”便是用“实数”来除以“法数”。可是我们在《史记》现在的文本里，上下文间却看不到这个“实数”在哪里，因而也就根本没有办法来实施这“实如法”的工作。
要想清楚说明这一问题，我们先要明白“置一而九三之”说的是什么意思。《史记·律书》在这段“生黄钟术”之前，讲的是“生钟分”。其文曰：
子一分。丑三分二。寅九分八。卯二十七分十六。辰八十一分六十四。巳二百四十三分一百二十八。午七百二十九分五百一十二。未二千一百八十七分一千二十四。申六千五百六十一分四千九十六。酉一万九千六百八十三分八千一百九十二。戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
“生钟分”的“分”字，读去声，做fèn音。另外，这里的“钟”，首先是“黄钟”的略称，但更重要的是，司马迁是用这个“钟”字来代之以黄钟、大吕等十二律名来表示的十二个标准音高，而这里开列的所谓“生钟分”，就是推定这些标准音高的具体办法。
需要说明的是，子丑寅卯这十二辰（或称十二地支），在这里只是十二个抽象的符号，在音律本身方面，并没有任何意义（把十二音律同天文历法相联系，更纯属附会）。这是因为上面这段记述的先后次序，是基于推定这些数值的先后过程（后面一个音高必须以前一个音高为基础），并未依循音高的序列（如黄钟、大吕、太族……）。
古人推算的过程和结果，是先假定第一个标准音、也就是子音的音高为“一”，以此为基础，丑音便是子音的三分之二，寅音则为子音的九分之八。依此类推，直到亥音是子音的十七万七千一百四十七分之一万五千五百三十六。这一情况，可以用表格的形式，表述于下：
生钟分表
看了这个表格，大家就会明白，《史记·律书》的记载是清晰而又简洁的，一点儿也不复杂。
清光绪寄红山馆刻本王绍兰《管子地员篇注》
至于它的推定办法，更简单，这就是著名的“三分损益法”。三分损益法首见于《管子·地员篇》的记载，但相比之下，《史记·律书》的记述更为简明易懂，这就是前面引述的“以下生者，倍其实，三其法；以上生者，四其实，三其法”。《史记·律书》所说数“成于三”，《汉书·律历志》所说“函三为一”，讲的都是三分之法。
在已经了解“实”为分子、“法”为“分母”的前提下，即可知如以子音“一”为基础，做第一步推衍，即：1/1?2/3=2/3，2是分子基数的翻倍，故曰“倍其实”。第二步为2/3?4/3=8/9，“四其实”即分子基数乘以4。同理，第三步为8/9?2/3=16/27；第四步为16/27?4/3=64/81……。又2/3比3/3少一分，故曰“损”；4/3比3/3多一分，故名“益”。乘以2/3后的数值小于基数，因名曰“下生”（在我制作的《生钟分表》上是以??来体现）；相反，乘以4/3后的数值大于基数，故称作“上生”（在我制作的《生钟分表》上是以??来体现）。
《淮南子·天文》表述同一内容，书作“律历之数，天地之道也，下生者倍，以三除之；上生者四，以三除之”，大家看了，或许更好懂一些。另外，《淮南子·天文》还记述了当时推定十二律数值的具体过程，其具体情况，如《五音十二律生成关系示意图》所示。值得注意的是，除了上述“下生”与“上生”交替发生的规律之外，在应钟—蕤宾—大吕这三律的递生过程中，出现了连续两次“上生”的情况，《晋书·律历志》称“蕤宾为重上”。（又案：这样生成的数值体现的是波长，波长越短，音调越高，故在黄钟、大吕等十二律音和宫商角徵羽五音中这一数值的排列次序都是由大到小）。不管是“下生”和“上生”，推算时分母都是3，即都是一样的“三其法”，即“以三除之”。这样推算的每一个步骤，其分母都保持以3相乘不变。这就是中国古代音律学史上“三分损益法”的基本内容，也是前列《生钟分表》各项内容的来路。
在这样的知识背景下，让我们来看《史记·律书》中的“置一而九三之以为法。实如法”，其中“置一而九”的涵义，就涉及唐人司马贞在《史记索隐》中所做的解释。
首先，司马贞引述的《汉书·律历志》和“乐产”之说，都提到了子丑寅卯等十二辰；《史记·律书》在讲述“生黄钟术”时也有同样的表述。前面我已经讲到，实质上十二辰在这里只是被用作抽象的符号，并没有音律的意义，古人只是用这组文字来标定黄钟、大吕等十二律音的先后次序。原因是这个次序同十二律音由低到高（所定数值则由大向小）的队列不同，所推定的数值，是进七步变小，又退五步增大，错综回环，不好表述，只能按照计算的顺序来叙说，而子丑寅卯等十二辰标记的就是这个次序。
尽管其实质性意义只是一组抽象的符号，但之所以采用这样的符合而不是其他，则显示出在古人的观念当中，十二音律同十二辰之间是具有某种内在关联的。司马迁在《史记·律书》中开篇即谓“王者制事立法，物度规则，壹禀于六律，六律为万事根本焉”，他讲六律而不是十二律，是十二律又被分作黄钟、太族等六阳律和大吕、夹钟等六阴律。在这寰宇万事当中，天文历法与之关系最为近密，所以在《律书》的末尾，太史公复论之曰：“故璇玑玉衡以齐七政，即天地二十八宿，十母，十二子，钟律调自上古，建律运历造日度，可据而度也。合符节，通道德，即从斯之谓也。”可见从上古时期起，音律同人们观天文、定历法就紧密联系在了一起。
前述司马贞《史记索隐》，在解释“置一而九三之”这个句子时，啰哩啰唆地讲了那么长一大段话，可实际上却什么也没说清楚。
不管是引述《汉书·律历志》的记载，以“始动于子，参之于丑，得三；又参之于寅，得九”为“九三之”也；还是引述乐产的话，以为“一气生于子，至丑而三，是一三也。又自丑至寅为九，皆以三乘之，是‘九三之’也”，都很不得要领。至于韦昭所说“置一而九，以三乘之是也”，道理讲得虽然不错，但却没有直接针对《史记·律书》本文，读者看了，仍然不知所云。
若是把前列《生钟分表》的内容转绘到环状排列的十二辰图上，我们可以看到下列情形：
生钟分图
在这幅图上，我们可以很直观地看到，丑位数值的分母，得自第一次以三相乘。如果我们把这由子位向丑位的转变，称作第一次“三之”亦即“一三之”的话，那么接下来的寅位、卯位、辰位、巳位、午位、未位、申位、酉位便可以分别称作“二三之”、“三三之”、“四三之”、“五三之”、“六三之”、“七三之”、“八三之”和“九三之”。我理解，《史记·律书》所谓“置一而九三之”，讲的就是这相继九次连续“三之”的情况。
其实这并不是我偶发奇想，清代著名学者钱大昕就是这样理解的。正因为钱大昕一定是这样理解《史记·律书》上述记载的，所以他才会以为：
“置一而九三之以为法”，此下当云“十一三之以为实”，转写脱之。
检《淮南子·天文》有句云“律之数六，分为雌雄（德勇案：即前述阴律和阳律），曰十二鐘（案‘鐘’应为‘黄鍾’之‘鍾’的本字，‘鍾’乃通假，本文照录所见文献写法，或‘鐘’或‘鍾’，不做统一处理），以副十二月。十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七”。试看“十七万七千一百四十七”这一“积分”，正是上示《生钟分图》中连续“三之”到第十一次时的分母；又“置一而十一三之”的句法，也与《史记·律书》的“置一而九三之”完全相同，从而可知钱大昕所说符合实际情况，信而可从。
如果我们按照钱大昕这一看法，将此“十一三之以为实”句补入《律书》当中，并依据我对文义的理解重新标点，其文字则可复原如下：
置一而九三之以为法，十一三之以为实，实如法，得长一寸。
另一方面，在前示《生钟分图》和《生钟分表》中我们都可以看到，这样“十一三之”的结果，分母是177147，而“九三之”的结果，分母是19683。如果我们按照司马迁所说的那样去做“实如法”的操作，即用这个177147“实数”除以19683这个“法数”，得数是“9”。
那么，为什么要用以“九三之以为法，十一三之以为实”来做这样的运算呢？
首先，“十一三之”所得出的“十七万七千一百四十七”这个“积分”，是以生钟法生出的最大分母，自然也是至上的“大法”，因而在古人心目中便具有了某种象征性意义，故《淮南子》称得此则“黄钟大数立焉”。
道光写刻本《述学》
至于“九”这个数字，在古人的观念当中象征意义更大。清中期著名学者汪中尝对此概括论述说：
一奇二偶，一二不可以为数，二乘一则为三，故三者数之成也。积而至十，则复归于一。十不可以为数，故九者数之终也。于是先王之制礼，凡一二所不能尽者，则以三为之节，三加、三推之属是也；三之所不能尽者，则以九为之节，九章、九命之属是也。
这段话里有一些内容，理解起来或许还要再花一些功夫（案汪中所说“二乘一则为三，故三者数之成也”，从字面上看，“乘”似应解作“加”义，大略即《老子》“道生一，一生二，二生三，三生万物”之意），但无论如何，“三者数之成也”和“九者数之终也”都是同这里所论问题直接相关的两个重要观念。
了解古人对上述这两个数字的观念之后，我们就能够理解，用“十七万七千一百四十七”去除“九三之”的结果“一万九千六百八十三”所得出的“九”这个得数值，自然会具有更强大的神秘性和神圣性——它一定体现着昭昭天道，其中也必定寄寓着某种天意。
在我看来，只有由此出发，《史记·律书》下文“得长一寸”那句话才可以理解，也才会有意义——这就是用如此这般得出的“九”这个既神秘又神圣的数值，来做一寸的长度，这也就是九分一寸的刻度（案相关长度单位以尺、寸、分、厘顺序递降）。不过这只是特定的用于推算音律的尺子，原因是“九”为三的倍数，这种刻度更适宜于“三分损益”的推算。
其实看似纷纷纭纭的“生钟分”过程，其最关键的实质性意义也就在这里——即先通过一三、再三、三三以至九三、十一三得出“十七万七千一百四十七”这个很大很大的大数，再除以“九三之”的结果“一万九千六百八十三”，得出的“九”这个数值，再令其自乘一次得出下文所说“九九八十一”这“黄钟之宫”。折腾来，折腾去，每一步都是“三”的倍数，在此基础上用“八十一”这个数值来做“三分损益”，当然会很顺畅，也很容易。
《史记·律书》下文接着说“凡得九寸，命曰‘黄钟之宫’”，以上文所得每寸九分计，“凡得九寸”即再用“九”这个神圣数字与之相乘，得出九九八十一分，这个“八十一分”就是所谓“黄钟之宫”。
所谓“黄钟之宫”，乃指宫商角徵羽五音中与黄钟相当的宫音的律管长度，这就是《史记》律书》在载述“律数”时讲到的“九九八十一以为宫”：
九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。
显而易见，以八十一分为基准点，按照“三分损益法”做推算，很容易得出宫、商、角、徵、羽这五音律管长度的整数值，而这样的数值显然更便于标准律管的制作。
以此为基础，《史记·律书》下文一一列举了黄钟、大吕等十二音标准律管的长度：
黄钟长八寸七分一，宫。
大吕长七寸五分三分一。
太蔟长七寸七分二，角。
夹钟长六寸一分三分一。
姑洗长六寸七分四，羽。
仲吕长五寸九分三分二，徵。
蕤宾长五寸六分三分一。
林钟长五寸七分四，角。
夷则长五寸四分三分二，商。
南吕长四寸七分八，徵。
无射长四寸四分三分二。
应钟长四寸二分三分二，羽。
需要说明的是，不管是宫、商、角、徵、羽各音的“律数”，还是制作黄钟、大吕等十二音律管所采用的尺度，都是标准的十进制尺寸，同前文所说九等分之“寸”不是同一体系，那种九刻度的“寸”，只是用以体现“九九八十一”这个数值的神秘性和神圣性（案：关于这个问题，古人有不同说法，我在这里讲的只是敝人学习古代音律的初步认识）。
上述律管长度数值，存在一些十分明显的文字讹误。稍习古代典籍者皆知，像这样连续叠砌的数字，在传钞刻印过程中，最容易产生讹变；大多数人看不懂音律的内容，此处若有舛乱，自然也就会更为严重。很早就有人懂得音律的学者，发现此处的错讹并对其做出了校勘。
文物出版社影印元大德九年陈仁子东山书院刻本《梦溪笔谈》
其中较早指出其间问题的北宋学者沈括，只是校订了与宫、商、角、徵、羽五音相当的黄钟、太蔟、姑洗、林钟、南吕五音的数值。南宋学者蔡元定进一步全面审度《史记·律书》所载律管长度数值，所做订正，若略去细数，可用表格对比如下：
南宋学者蔡元定订正十二律“律数”
在这当中，也包含了沈括所指出的问题，蔡氏的看法，与之相同。
另外，还可以用阿拉伯数字的形式，把蔡元定更定的数值列为下表（表中小数点前为寸，小数点后为分，竖线|后以分数形式约略表示厘数。另外，红字表示的是与宫、商、角、徵、羽对应的十二律律名）：
南宋学者蔡元定改定的十二律“律数”
阅读沈括和蔡元定的看法，可知两人都是谙熟音律的个中高手，蔡元定且对《史记·律书》相关记载有非常系统的研究，因而他们的看法理当引起后世学人的重视。昔张文虎校勘金陵书局本《史记》，因其深悉天文律历，在这些问题上也提出了同沈、蔡二人完全相同的见解。在这种情况下，中华书局旧点校本也采纳了张文虎的大部分意见。
了解这样的学术背景可知，今中华书局新点校本的主事者理应慎重其事，仔细斟酌相关文字的正讹。
然而我们看到的实际情况是，中华书局新点校本的点校者不仅对沈括和蔡元定的说法置之不理，反而还引述某些现当代学者的研究，以为《律书》原文正确无误，沈括和蔡元定等人是因不懂音律而没有看明白《史记·律书》讲述的是什么意思。
当代否定沈、蔡之说的这些人主要是从事中国古代科技史研究的学者，有丰富的现代科学背景，但这些科学家并没有能够提出充足可信的依据，总括其不信沈、蔡之说的理由，稍显“强硬”者不外乎如下两点：一谓“音律数字的校勘必须有基本音律学常识为据，否则就是玩弄数字”；二谓如依沈、蔡两人所说，“《律书》律数文字中十二句误七句、衍二字”，这“误句比例毕竟太大了”。他们以为沈括和蔡元定认定的十二个误句中有七句是把“十”字讹作“七”字，可“误一、两个‘七’字尚可，何如整节文字中凡‘七’皆误”？
关于第一点，这些学者们在讨论这一问题时似乎忘了中国古代也有科学，正因为如此，才有他们从事的专业——中国古代科技史。中国古代既然有科学，当然很早也就有了研究古代科技史的学者；即使是普通文史学者，也颇有人雅好此道，并不是所有读书人都只知道之乎者也。因而古代学人中自有精通音律者在焉，譬如沈括、蔡定元、张文虎等人就都是这样。所以，我们应该认真阅读并满怀敬意地慎重对待前人的研究成果，不宜妄自以为他们都是没有“基本音律学常识”的舞文弄墨者，更不该轻薄地讥讽他们是在“玩弄数字”。
具体地说，蔡元定以为《史记·律书》所记十二律“律数”中的黄钟之管应为“八寸十分一”亦即8.1寸高，这是因为“黄钟之律九寸，一寸九分，凡八十一分，而又以十约之为寸，故云八寸十分一”，即所谓黄钟律管“长八寸十分一”，只是以寸为单位来表示“八十一分”的“黄钟之宫”。
通观《史记·律书》前后记载，不难发现，蔡氏所谓“黄钟之律九寸”，也就是司马迁所说“凡得九寸”的“黄钟之宫”，这同《史记·律书》在载述“律数”时所讲到的“九九八十一以为宫”，是存在着通贯而又同一的内在联系的，而贯穿其间的神髓，便是生成音律的“三分损益”之法。
在这一背景之下，把黄钟之管的高度定为“八寸十分一”，自然就是直接体现“九九八十一”分的“黄钟之宫”。这不仅十分合理，具有内在逻辑的一贯性，而且更具有实际操作意义——这样才便于以“三分损益法”来确定十二律中其他那十一个律管的长度。
须知沈括和蔡元定等人对《史记·律书》所做的订正，依据的就是这个“三分损益法”，而这样订定的数字能不符合音律学原理么（因为必然高度符合，所以那些科学家也拿不出具体的证据加以否定），这样的做法，能说是不懂“基本音律学常识”而“玩弄数字”么？若是借用这些科学家的语句来说句不大恭敬的话，那么，在我看来，恰恰是他们自己极大地忽视了《史记·律书》前后文字的内在联系而在只顾一味“玩弄数字”。
至于第二点，这些科学家讲的话，更是太缺乏古代文献校勘的常识了。传世文献有没有错讹，首先要从文字内容是不是符合正常的逻辑和顺畅的表述方式来察看，不符合就存在讹变的可能，而不是看其比例大小。具体就汉代音律数值的合理构成而言，它应当而且必须合乎等比数列，这一点在校勘时不仅可以用，而且还要首先着眼于此。因为只有这样才符合正常的逻辑，才能顺畅地表达当时的音律。
事实上，如上所述，沈括和蔡元定等人在校勘《史记·律书》时主要参据的正是形成等比数列的“三分损益法”——原来有些数字不符合“三分损益法”，经他们勘正之后就与之高度吻合了。
在此基础上我们再来看沈、蔡诸人校改的具体数字在文献校勘技术方面的合理性。如科学家所言，在沈、蔡诸人所做十二处更正中，有七处是把“七”字改定为“十”，而理解“十”字讹为“七”的缘由，需要了解司马迁时代这两个字的写法。
前人看到西汉文字的机会不多，所以沈括在解释两字何以相混时，乃谓“凡‘七’字皆当作‘十’字，误屈其中画尔”。其实在太史公时代，“七”、“十”两字字形极为相近，甚至近到当时人不知不觉地写着写着就把这个写成那个的程度，这是我们在西汉铜器铭文和石刻铭文中时或可以看到的现象。
那么，这两个字到底怎么相像呢？——“七”字根本没有沈括所说、也就是现在我们大家谁都可以看见的那一向右曲折的“中画”，不管是“七”字，还是“十”字，都是一横一竖两笔直交，区别只是前者横长竖短，后者横短竖长。了解这一历史状况就很容易理解，这两个字在传写过程中相互致讹的可能性实在是太大太大了。
那些否定沈、蔡之说的科学家，不仅不了解西汉人文字的写法，而且还根本不了解当时人怎么写字，所以在对“误一、两个‘七’字尚可，何如整节文字中凡‘七’皆误”感到困惑难解的同时，还发出了一个非常奇怪的疑问：“汉代竹简中刀削‘七’字难道比削‘十’字更简单？”这显然是误以为古人是用刀子在竹简上刻字了。其实不仅司马迁写《史记》用的是笔，即使是在甲骨文时代，刀刻卜辞也是为特殊用途而采用的特殊方式，其他绝大多数情况下人们的书写工具还是笔。汉朝舞弄文墨者所用书刀是改削错字用的，不是用来刻字。
其他像“二”讹作“一”，“五”讹作“三”等，在古代文献中也都大量存在，毫不足怪。就连这些否定沈、蔡校勘意见的科学家，不也是为适宜他们认定的结论而在论述过程中以为《史记·律书》中存在“‘六’乃‘七’之误”、“‘七’为‘九’之误”的错讹么？这意味着古代文献中数字常常会产生错讹是这些人也不能不承认的客观事实，因而沈括和蔡元定对《史记·律书》“律数”的校改怎么看也都正常得很。
综括以上论述，窃以为今中华书局新点校本《史记》放弃旧点校本正确的校勘意见而改从当代某些科学家的看法，可谓改是从非，乃是一项荒唐的倒退。原因是点校者恐怕一点儿也不懂古代音律知识，从而也根本看不到《史记·律书》上下文之间的内在联系，只好盲目地信从那些科学家的看法，即所谓惟“科学”是论。这也是时下许多缺乏科学知识的文科学人很容易犯下的错误。
殊不知科学虽然是真理，但科学家只是寻找真理、揭示真理的人，而只要是人，就谁的认识都有可能出现偏差，科学家也不例外。一项古籍校勘是否合理，还是要回归于所校勘文本本身的合理性去加以检验。正确的校勘自然能够通过检验，错误的就通不过，而在我看来，那几位科学家的看法就无法通过检验。
需要特别强调指出的是，对《史记·律书》“律数”文字正误的判断，关系到我们对中国古代音律学早期基本状况的认知，影响甚巨，学术意义也甚大，因而像中华书局所印《史记》这样的典籍，主持其事者不管居于哪一层级，都应该严肃对待；至少要在根本读不懂的情况下做到慎重对待。尽量做到慎重一些，这好像并不困难，更不需要一分钱经费资助。
澄清这一事实，会让我们更加深刻地理解“九九八十一以为宫”在当时音律体系当中的重要地位，从而才能更为深刻地理解钱大昕补入“十一三之以为实”这句话的合理性和重要性。
现在让我们回过头来，看一下本文开头列举的那段《史记索隐》当中的文字讹误。
司马贞在这里引述的那段乐产的话，即“一气生于子，至丑而三，是一三也。又自丑至寅为九，皆以三乘之，是‘九三之’也。又参之卯，得二十七；参之于辰……”云云，实质上是依据《汉书·律历志》重述《史记·律书》“生钟分”数值时在前面逐个增写“参之于某辰”字样（附案“参”乃三倍之意），用以注解何以会有“置一而九三之以为法”一说。
《汉书·律历志》述云：
太极元气，……始动于子，参之于丑，得三；又参之于寅，得九；又参之于卯，得二十七；又参之于辰，得八十一；又参之于巳，得二百四十三；又参之于午，得七百二十九；又参之于未，得二千一百八十七；又参之于申，得六千五百六十一；又参之于酉，得万九千六百八十三；又参之于戌，得五万九千四十九；又参之于亥，得十七万七千一百四十七。
对比一下《史记·律书》的记载，显而易见，这就是《律书》所记“生钟分”数的分母。
用这个数字来对比《史记索隐》转述的数字，可以看到，《史记索隐》中“又参于未，得二千六百八十七”和“又参之于申，得六千五百六十三”这两个数字，都有明显的讹误，即前者把“二千一百”错讹成了“二千六百”，后者把“五百六十一”错讹成了“五百六十三”。其实这是简单的算术，没有文本核对，动手乘一下试试，也很容易发现错讹的文字。
明末毛氏汲古阁刻《史记索隐》单行本
实际上三家注本《史记》本来只有这段《索隐》的一部分内容，仅至“皆以三乘之，是‘九三之’也”为止，黄善夫书坊删略了自“又参之卯，得二十七”以下的所有文字。现在我们看到的这些内容，是后来根据单刻本《史记索隐》补上的，上述两处数字错讹也是承自单刻本《史记索隐》。
黄善夫书坊在合刻三家注本时略此不刻，是因为就在这前面的一段，张守节的《史记正义》已经直接钞录了《汉书·律历志》这段内容。尽管《史记索隐》的表述更为直接，但《史记正义》对史料来源的交代却更准确，因而这一删略也是可以理解的。
令人费解的是点校中华书局新本的学者：这么简单的讹误，不管是看一眼《史记·律书》“生钟分”的正文，还是往前翻一页，看一眼张守节《史记正义》引述的《汉书·律历志》的内容，怎么都能轻而易举地看到这两个数字的讹误，他们为什么就坚决不看呢？这个从表面上看起来十分令人困惑的问题，稍一审视相关情况，就会发现，其实是很好理解的——由于实在读不懂《史记·律书》写的到底是个啥，所以除了直接对校版本再盲从科学家的话之外，他们啥也做不了，而如本文一开始所讲的那样，这段内容的来源有些特别，它仅见于单刻本《史记索隐》，在所有宋元朱明古本《史记》中都找不到对应的内容，因而自然束手无策，原来啥样儿就只好让它那个样儿。
另外，这段《史记索隐》中“是谓‘因而九三之’也”这句话，通观上下文义，应是“是谓‘置一而九三之’也”的讹误，即“置一”二字讹变成了“因”字。而这一讹误，在单刻本《史记索隐》中同样存在。
2023年1月13日下午草记
2023年1月14日下午改定
